Semaine n°5

J'avais besoin de faire un peu de calculs donc j'ai fait une pause WiMS de 20minutes.🫣😅

WiMS déconne!! Dans les formules de classe il ne te dit pas de classer dans l'ordre décroissant!  J'ai les boules.

Bon au moins j'ai compris que je dois trouver toutes les combinaisons de trois nombres parmi les diviseurs de 70 qui s'additionnent pour donner 22. J'ai charbonné pour trouver les 9 combinaisons possibles sans en oublier 😅

C'est un truc de ouf: j'avais complètement oublié cette formule du produit vectoriel 😱. Et en faisant les calculs effectivement je suis contraint de reconnaître qu'elle est vraie! C'est bien la preuve que les révisions ne sont pas un luxe!

J'ai enfin compris quelque chose qui me paraissait "flou": la différence entre un espace euclidien et un espace vectoriel normé!!!!

Bordel c'est pas compliqué mais il faut être attentif en cours. Pour moi ces deux choses étaient identiques! Mais en maths si deux notions n'ont pas le même nom c'est qu'il y a forcément une différence, même si elle est minime.

En résumé un espace métrique est un ensemble muni d'une distance. Un espace métrique muni d'une norme est un espace vectoriel normé. Un espace vectoriel non normé muni d'un produit scalaire est un espace préhilbertien. Et enfin un espace vectoriel normé muni d'un produit scalaire est un espace euclidien! 

Et à force de voir et revoir les définitions d'un espace vectoriel, bah maintenant quand on me parle de symétrie et linéarité, ça me parle carrément!

J'ai enfin compris pourquoi on dit que le produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique. J'ai l'impression d'avoir découvert le feu 😂🤣🤣🤣

Donc si je devais résumer mes révisions de ce soir sur les espaces préhilbertiens voici ce que j'ai écrit dans mon cahier.

23h47, ce sera tout pour ce soir! Demain j'attaque la géométrie affine réelle en dimension finie.

Mine de rien ça avance de bon train. Donc techniquement je devrais pouvoir passer à la partie analyse en Août comme prévu.

Me voila en plein dans la théorie des groupes! C'est parti pour une saison de 6 épisodes! Ce soir j'essaie d'encaisser les deux premiers. à l'entendre c'était dans le programme du CAPES😱🤯Heureusement que je ne suis pas tombé dessus, je me serais fait laminer par le jury! Bon il n'est jamais trop tard pour bien faire.

ça y est je commence à comprendre ce qu'est une orbite et un stabilisateur, ainsi qu'une action de groupe! C'est ouf comment les choses qui paraissent compliquées une fois qu'elles sont bien expliquées paraissent évidentes 😅

allez épisode 2: https://www.youtube.com/watch?v=5lWaM2IOjkg

L'inverse d'une matrice de permutation est sa transposée🤔

Et le plus important: l'épisode 3, où on parle de formule des classes, et d'équation des classes https://www.youtube.com/watch?v=VIG3WX15VUA  c'est "velu" ! on ne va pas se mentir 😅

J'ai mis du temps à comprendre. Je me perds encore un peu, mais globalement j'ai compris le concept....

Bordel, c'est bon de finir par comprendre 😅🤣🤣

c'était laborieux! Bon au moins ça m'aura permis de découvrir le théorème de Cauchy sur les groupes,et le théorème de WedderBurn

On croit souvent, à tort, que la géométrie c'est simple: qu'il n'y a qu'à connaitre Thalès, Pythagore, et la trigo pour tout savoir en géométrie. Et bah pour se convaincre que la géométrie c'est beaucoup plus complexe que ça je vous invite à lire les élément d'Euclide! Franchement Euclide c'est clairement le papa de la géométrie (en tout cas l'euclidienne, mais déjà si on maîtrise celle-ci avant même d'aller toucher la géométrie non euclidienne ce serait déjà pas mal).

Affinité(dilatation), homothétie, transvection , c'est à ce moment là que j'ai compris qu'il fallait que je comble mon vide mathématique: j'avais oublié qu'en mathématiques tout est lié! Matrice, géométrie du plan, application affines. J'aimerais tellement savoir quel effet ça fait de voir le lien entre toutes les approches, de façon claire et sans ambiguité. je veux dire par là , arriver au stade où lorsque tu vois une transformation tu arrives direct à dire "ah ça ça correspond à telle matrice" , "ah ben oui, ça c'est pas possible car le déterminant est -1" etc... 

Comprendre la différence entre symétrie oblique, et symétrie orthogonale. 

Je me demande si tous les collègues visualisent vraiment les transformations comme des applications, ou des actions de groupes lorsqu'ils font leurs cours en classe, perso je ne le faisais pas ( j'ai honte de le reconnaitre🫣) je croyais comprendre, mais en fait j'appliquais des recettes, sans comprendre la vraie nature de chaque ingrédient de la recette. Certains diront: "roooh pas besoin de savoir ce qu'est une transvection pour enseigner aux élèves ce qu'est la symétrie orthogonale (déjà entre les collègues je ne suis pas sûr que dans les cahiers des élèves ils l'écrivent ainsi, mais plutôt sous le nom de "symétrie axiale") à trop simplifier pour rendre les maths accessibles à TOUS, on finit par perdre en rigueur, et c'est ce qui fait sûrement qu'une fois arrivé dans le Supérieur des élèves qui croyaient sincèrement être bons en maths parce qu'ils savaient appliquer des recettes , se retrouvent démunis et finissent dégoutés des maths. 

Ceci dit, on peut très bien comprendre des choses, sans pour autant être capable de les expliquer à autrui; mais dans ce cas il ne faut pas enseigner ces choses-là. C'est tout là la difficulté de notre métier: être capable de transmettre, et maîtriser les sujets dont on parle. 

Le commun des mortels aime imaginer que pour enseigner Pythagore il suffit de connaitre l'énoncé du théorème. Et pourtant personne n'oserait prétendre que pour savoir piloter un avion il suffit d'avoir déjà pris l'avion (même des centaines de fois ça ne suffira pas).... bref!

Quelques sources pour aller plus loin: Brochure IREM numero 100, Enseigner la geometrie au cycle 4, 2001.

http://docs.irem.univ-paris-diderot.fr/up/IPS20011.pdf

Perrin Daniel, Mathematiques d'ecole, Cassini, 2005, 2011.

Perrin Daniel, Autour du theoreme de Thales, conference IREM, 2006.

https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~daniel.perrin/Conferences/ThalesDP.pdf

Perrin Daniel, Invariants de la geometrie projective lineaire.

https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~daniel.perrin/Livregeometrie/DPPartie2.pdf

J'ai enfin compris pourquoi dans les programmes il apparait toujours cette ouverture possible sur les frises et les pavages! Je les fais quand j'ai le temps habituellement, mais je n'avais jamais compris le pourquoi excepté pour le plaisir du regard. Et bah quand on touche un peu la théorie des groupes on comprend qu'en fait les frises et les pavages sont des actions de groupe également!

Donc je retiens qu'il y a 7 groupes possibles de frises. Et pour les pavages il peut y avoir jusqu'à 17 groupes de pavages possibles.

Bon c'est l'heure de la pause, avant de poursuivre avec les groupes laissant invariant une partie de l'espace.

C'est fichtrement passionnant quand on aime la géométrie affine.

l'épisode 5 c'est par ici: https://www.youtube.com/watch?v=z4k9vvBxL6M

Pas évidente à visualiser , la rotation de 180° 

C'est beau les dualités:

dualité entre le cube et l'octaèdre:

l'un a 6 sommets et 8 faces, quand l'autre a 8 sommets et 6 faces.

Idem pour la dualité entre le dodécaèdre et l'icosaèdre:

l'un a 20 sommets et 12 faces, quand l'autre a 12 sommets et 20 faces.

20h15: bon , je fais une pause avant d'attaquer la formule de Burnside: https://www.youtube.com/watch?v=mRsg2lqEjPM

Je viens de passer 1h à remettre mon carnet de bord "à jour" en fait en prévision de mes révisions je me suis dit que ce serait plus pratique que les jours soient affichés dans l'ordre chronologique... ça m'a fait une pause, donc je peux m'y remettre! Il est 22h30.

Sérieux les recasages c'est un truc de dingue! J'étais sur le problème du collier de Perles (pour appliquer la formule de Burnside) et de fil en aiguille j'arrive à atterrir sur le Théorème de dénombrement de Polya! ce truc m'a déjà donné des migraines par le passé.... Est ce qu'il y a des choses qui sont totalement déconnectées des autres en maths?? Je commence à sérieusement me poser la question.😱

Pour les longues nuit d'hiver: https://agreg-maths.univ-rennes1.fr/documentation/docs/denompoly.pdf

je ne cracherai plus jamais dans la soupe 🫣😂

Ils se méritaient les 23 pavages d'Escher! Mais c'est formateur, c'est à force de faire qu'on comprend mieux la notion de fixateur!! Au début je comprenais le principe mais je ne voyais pas les tenants et aboutissants, et à partir du 3e calcul la lumière est arrivée à tous les étages et d'un coup tout est devenu cohérent! Comprendre le nombre de pavages qui restaient fixes. Et grâce à la formule de Burnside on obtient le nombre de 23. C'est beau!! 

Cette saison sur les actions de groupe est clairement une de mes préférées depuis que je regarde Mathflix! C'était captivant, même si les calculs d'invariants m'ont donné des sueurs froides par moment! Moralité : la combinatoire et la géométrie ça fait un mélange détonant, et gare aux oublis de cas redondants, c'est clairement ça le plus piégeux😅

Je me revois en train de dire "roooh c'est bon, la géométrie ça va passer crème".... ça ce sont les propos de quelqu'un qui n'y connait vraiment rien en maths.... écris "Géométrie" dans WiMS tu vas avoir le vertige....

Donc avant même d'aller plus loin, je commence par me demander quelles sont les différences entre ces différentes géométrie.

• géométrie affine

il s'agit grossièrement d'ensembles de points définis par des propriétés spécifiques permettant de parler d'alignement, de parallélisme, d'intersection 

• géométrie algébrique

il s'agit de l'ensemble des objets géométriques (courbes, surfaces…) composés des points dont les coordonnées vérifient des équations Polynomiales (ne faisant intervenir que des sommes et des produits) par exemple le cercle unité dans le plan rapporté à un repère orthonormé admet pour équation x²+ y²= 1 . 

• géométrie analytique

par opposition à une géométrie qui se voudrait synthétique , il s'agit d'une approche de la géométrie dans laquelle les objets sont décrits par des équations ou des inéquations à l'aide d'un système de coordonnées. 

• géométrie dans l'espace

consiste à étudier les objets définis dans la géométrie plane dans un espace à trois dimensions et à y ajouter des objets qui ne sont pas contenus dans des plans 

• géométrie différentielle

est l'application des outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie. Les objets d'étude de base sont les variétés différentielles, ensembles ayant une régularité suffisante pour envisager la notion de dérivation, et les fonctions définies sur ces variétés topologiques.

• géométrie élémentaire

est l'étude des figures « simples » comme des droites plans, polygones, polyèdres, coniques. 

• géométrie euclidienne

au sens des antiques traite du plan et de l'espace. Les objets considérés sont les points, les segments, les droites, les demi-droites, et leurs propriétés d'incidence (la règle), ainsi que les cercles (le compas). Dans une approche plus moderne elle traite aussi des droites, cercles et triangles. Les enjeux essentiels sont l'étude de figures et la mesure. 

• géométrie vectorielle

associée à la géométrie analytique , elle porte sur l’étude des vecteurs (définis par une direction, un sens et une mesure). Cet outil permet de contrôler l’alignement de points, le parallélisme ou la perpendicularité de droites, de déterminer la distance entre deux points, de calculer des angles.

Alors si quelqu'un te dit "j'aime" ou "je n'aime pas la géométrie" , n'hésite pas à lui répondre "laquelle des géométries?" 🤡.

Bref je réalise qu'il est réellement cohérent d'étudier les actions de groupe avant d'aborder la géométrie euclidienne, si on veut bien saisir les nuances des raisonnements et propriétés étudiées. Exemple donné ci-dessous de la notion de "Transitivité".

Quand tu penses que si j'avais commencé par ça au lieu de commencer par les espaces vectoriels, je n'aurais pas perdu 2 semaines à galérer comme un chacal pour comprendre à quoi correspondaient Ker f et Im f.... 🙄🤡

Voici un support synthétique pour connecter géométrie et espaces vectoriels : https://nguyen.univ-tln.fr/share/GeomAlgo/trans_math.pdf , c'est clairement un must see ! Je me demande bien comment j'ai pu réussir le CAPES alors que cela était nébuleux dans mon esprit. Bon , soyons honnêtes: peut-être qu'il y a 10 ans j'avais plus de souvenirs dans ma tête que je ne crois m'en souvenir actuellement.

Il est 12h30.

Donc après le déjeuner je vais commencer par mater sur Mathflix le cours sur la géométrie euclidienne, afin de remettre les idées bien en place avant d'attaquer la géométrie affine réelle: https://www.youtube.com/watch?v=3gwtYy5cDjQ

Je viens de trouver une bonne idée d'exo à rajouter dans le fascicule des 6es, sur les médiatrices, ou alors dans le fascicule des 5es pour les droites remarquables. règle: trouver les zones de couverture réseau sachant qu'un téléphone se connecte toujours à l'antenne la plus proche.

Je me tâte à rajouter le vocabulaire de "Diagramme de Voronoi".

Bref je me suis mangé une heure de vidéo uniquement pour avoir une définition à la "Maths Adulte" de la convexité. En vrai cette vidéo elle peut servir de rappel pour des élèves de 3e avant le DNB pour les remettre en confiance et leur montrer qu'ils en ont appris des choses en 4 ans de collège. Mais c'est clairement une vidéo qu'on peut zapper lors de sa préparation à l'agreg; c'est bien la première vidéo que je trouve de niveau "débutant" , j'ai même du mal à imaginer que des professeurs des écoles puissent découvrir quoi que ce soit dans cette vidéo excepté la notion de convexité.... mais bon c'est peut-être moi qui sur-estime la culture générale mathématique du citoyen lambda en 2025 , mais je ne crois pas me tromper! Si un élève de 3e me dit qu'il y a quelque chose qu'il n'a jamais appris au collège dans cette vidéo (même la convexité on l'a vu lorsqu'on travaillé les quadrilatères en 5e lorsqu'on a vu les quadrilatères non convexes) alors je sais qu'il ne m'a pas eu comme enseignant en 6e, ou en 5e ou en 4e...

Bon travail de recherche: je me suis demandé "comment construire un polygone non inscriptible". Déjà j'ai éliminé tous les polygones réguliers , mais assez vite je me suis dit que si un polygone était non convexe il n'était pas inscriptible. Cependant je me suis demandé "est ce qu'il y a des polygones convexes non inscriptibles?" Je me suis dit au départ qu'on peut toujours tracer les médiatrices des côtés pour tracer le cercle circonscrit, mais en effet dès qu'on dépasse les triangles on n'a pas toujours des médiatrices concourantes, il est assez rapide de trouver une médiatrice qui ne passe pas par le point de concours des 3 autres médiatrices. La question alors c'est , mais comment construire la figure? J'ai pris le raisonnement à l'envers: j'ai d'abords construit un cercle sur lequel j'ai placé 3 sommets du quadrilatère, puis j'ai placé le 4e sommet en dehors du cercle! et d'ailleurs , une remarque: si je place le sommet à l'intérieur du cercle, du même coté que le 4e point ma figure devient automatiquement non-convexe! Je me coucherai moins bête ce soir 😅

Honnêtement j'ai l'impression d'avoir gaspillé une journée à réviser du programme de collège, mais dans le fond, de revoir ces notions de cycle 4 expliquées par un enseignant du supérieur m'a permis de gagner en rigueur, de changer mon point de vue dans le regard des propriétés. En effet j'étais resté à un niveau "élémentaire" à force de me mettre au niveau des élèves pour leur expliquer les notions travaillées. Par exemple sur les démonstrations il ne m'était jamais venu à l'idée que le fait d'avoir un sens direct et une réciproque permettait de justement créer des situations qui permettaient de mettre en œuvre le raisonnement hypothético-déductif ! J'ai toujours enseigné la géométrie comme on enseigne des recettes, en donnant des astuces pour résoudre des problèmes. Donc dans mon esprit l'idée était de trouver les problèmes qui me paraissaient les plus difficiles pour moi à résoudre et de les proposer aux élèves pour faire germer chez eux les mêmes mécanismes que ceux que j'opère pour résoudre ces problèmes. Sauf que ces élèves n'ont pas le même vécu mathématique que moi, donc le but n'est pas d'en faire des copies de moi. Il faut au contraire leur apprendre à trouver leur propre chemin mathématique, et cela suppose donc qu'ils comprennent réellement d'eux-mêmes les liens qui unissent les objets géométriques pour qu'ils puissent eux-mêmes naturellement concevoir leurs raisonnements sans attendre que quelqu'un leur montre une "astuce magique" qu'ils ressortiront lorsqu'ils seront confrontés à une situation similaire. 

Enseigner la géométrie finalement c'est clairement plus difficile qu'enseigner l'algèbre ou l'arithmétique. J'aurais du m'en douter: ce qui paraît souvent simple au premier regard l'est rarement réellement quand on prend le temps de se pencher dessus. Mais bon il n'est jamais trop tard pour bien faire. Allez je finis la vidéo sur les quadrilatères et je digèrerai tout ça posément ce soir. https://www.youtube.com/watch?v=XZQM52zUiko

Demain on attaquera les choses sérieuses avec la géométrie affine.

Franchement aujourd'hui c'était pépère, aucune difficulté intellectuelle, mais bon je ne vais pas me plaindre, il faut bien des jours où on fait des choses faciles... J'ai hâte d'être à demain pour chauffer mes neurones. J'ai jeté un coup d'oeil aux exercices de géométrie affine que je me suis mis dans WiMS , ce sont des exercices de niveau DEUG MI , donc ça devrait être un peu plus "velu".

demain j'en profiterais pour recommencer à revoir les vidéos sur les structures algébriques. Comme ça après un mois à décanter ça devrait me paraître beaucoup plus évident

https://www.youtube.com/watch?v=09BuX_XmNtM&list=PLE8WtfrsTAikFDNHujYvKStrEB5wEglmb

ça fait déjà 5 semaines que l'aventure a commencé, et pourtant j'ai l'impression que ça fait 3 mois que je suis dans les révisions 😅😂

Donc aujourd'hui j'ai attaqué les exercices WiMS de géométrie Affine. J'en ai profité pour rajouter des liens vers des exercices des autres géométries.

Allez maintenant au travail!

Bordel je ne lis pas assez les consignes! C'est ça qui va me porter préjudice pendant les écrits! 😤😰

après avoir revu les congruences, dans Z/pZ je suis retourné sur les orbites! Et bah couyon, c'est fou comment les choses sont plus claires une fois qu'on a suivi les cours de MathsFlix 🤕😅😂

j'ai failli oublier que l'ordre est important dans l'orbite! 

Le feedback c'est le nerf de la guerre!!! je viens enfin!!! après 1 semaine................................. de comprendre pourquoi il me disait que mes réponses pour les équations de classes étaient fausse, alors que j'étais sûr et certain d'avoir bien écrit la réponse attendue! 

Bah en fait il veut que je donne le cardinal de chaque orbite de l'action!  Il fallait compter aussi les stabilisateurs!!

1. Orbites de taille 1 :  ici que le centre! le numéro 14

   • Ces orbites contiennent des points qui sont inchangés par toutes les symétries du triangle. Ces points sont situés au centre du triangle.

   • Exemple : Le centre du triangle est un exemple de point qui forme une orbite de taille 1.

2. Orbites de taille 3 : {22,2,11} ne sont pas changés par les symétries, mais par des rotations de 120° et 240°. {13,4,18} ne sont pas changés par les symétries, mais par des rotations de 120° et 240° . {15,12,26} ne sont pas changés par les symétries, mais par des rotations de 120° et 240°.

   • Ces orbites contiennent des points qui sont transformés les uns en les autres par les rotations de 120 et 240 degrés, mais pas par les réflexions.

   • Exemple : Les centres des côtés du triangle forment une orbite de taille 3. Par exemple, les points situés au milieu de chaque côté du triangle.

3. Orbites de taille 6 : Et enfin les orbites de taille 6 comme celle qui contient le 16 de l'énoncé!  {27,5,23,25,21,16}  , {19,20,9,6,17,24} et {1,8,3,7,28,10}

   • Ces orbites contiennent des points qui sont transformés les uns en les autres par toutes les symétries du triangle, y compris les rotations et les réflexions.

   • Exemple : Les sommets du triangle et les points situés sur les côtés mais pas au centre forment une orbite de taille 6. Par exemple, les points situés près des sommets mais pas exactement au centre des côtés.

Alors quand on fait le total des cardinaux ont obtient bien 26 qui correspond au cardinal de X. 

Tu m'étonnes que c'est beaucoup plus simple une fois que tu as compris ce qui était attendu comme type de réponse 😂🤯

Bah oui mon cochon, j'ai compris comment ça fonctionne !!🤣

Après 3 jours sans m'exercer sur l'algèbre, j'ai bien fait de retourner faire de l'arithmétique modulaire et des actions de groupe, car mine de rien quand on ne s'entraine pas on oublie! J'ai serré les fesses dans les exos sur les classes à gauche et la conjugaison. Mais bon c'est fait, je peux attaquer sereinement la géométrie.

Il est 21h15, je fais une pause avant de m'y mettre! 

Donc cette semaine, chaque jour je regarde un cours sur les structures algébriques ( https://www.youtube.com/watch?v=09BuX_XmNtM&list=PLoaNFEcJb3gL6wctW4gMay0ljm19aMi7O ) et le reste du temps je fais de la géométrie affine.

Il aura fallu un mois pour que j'arrive enfin à démontrer tout seul qu'un ensemble donné est un corps!! Il y a du progrès!