Semaine n°10

Dans l'exercice 4 pour le développement asymptotique , il n'était pas évident de voir que x est équivalent à ln(1+x).

Donc il faut que je revoies mes développements limités : https://www.youtube.com/watch?v=T8kkTBTpM8Y

Mais d'abord je vais faire mon "Comme j'❤️"  du jour!

Et un excellent support très complet: https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~bruno.duchesne/enseignement/methodes_numeriques/comparaisons-asymptotiques.html

Les croissances comparées se rapprochent de la complexité des algorithmes:

à force de m'entrainer je commence à avoir vraiment dans la tête les noms des différents théorèmes, et je commence à reconnaître les contenus des définitions. 

Point fixe, Bozano, Weiestrass, Convergence uniforme VS convergence simple, Convergence dominée, caractérisation séquentielle des suites, etc... Franchement ça rebooste l'estime de soi. On est à 7jours de la rentrée, il était plus que temps de passer la vitesse supérieure.

Donc ce matin je finis la 3e partie de la vidéo sur les suites de Mathsflix. On a déjà fait les 4 premiers exercices de la feuille, il en reste 8 à faire en une heure, je sens que ça va dépoter vu qu'on a mis 2h pour faire les 4 premiers exos 😬. Haut-les-coeurs .

Haro sur le bodet ! il faut avouer que si dans la vidéo il n'y avait pas les commentaires de GBM ça serait dur à ingurgiter, donc ne crachons pas sur le format de 3h. Au départ ça me rebutait, mais il faut se dire qu'en fait il faut faire des séquences de 1h et faire autre chose avant de revenir dessus. 3h d'affilée je ne crois pas que ce soit productif; et pourtant il va bien falloir que je m'y habitue, d'ailleurs mon premier live de préparation ce sera demain soir de 20h à Minuit, ce sont les mercredi soir les lives. D'ailleurs j'ai manqué celui du Mercredi 27 où il a corrigé le sujet de l'agreg 2025; je ne sais pas comment j'ai fait pour louper cette date. Tant pis, j'attends qu'elle soit disponible dans les replays.

J'ai été visité le campus cela m'a permis de faire le trajet en voiture et vérifier qu'il me faudra effectivement 25min pour me rendre de la maison jusqu'à la fac. Au retour j'ai récupéré mon numéro d'identifiant étudiant. Et donc il ne me reste plus qu'à faire réparer le témoin lumineux lié au coffre, qui reste allumé sans raison. Donc pour savoir quel jour réserver un créneau au garage j'ai mis à jour mon calendrier avec les jours où je suis censé être à l'université. Mine de rien ça fait une année chargée: jusqu'aux écrits ça fait 3 jours sur 7 où je suis à la fac en gros.

ça y est je viens de finir la vidéo de 3h15 sur les suites! C'était velu! Mais que du bon, quasiment tous les théorèmes que j'ai appris durant mes révisions ont été utilisés dans les 6 exercices pour lesquels il y a eu la correction vidéo. Donc  il me reste à faire les autres exercices en autonomie.

Bon il ne faut pas que je me laisse aller , j'ai cours demain moi. 😅

Bon ça va , la principale a été super: les mercredi  je n'ai que deux heure de cours et deux heures de demi-groupes, donc ça ne devrait pas être violent. Donc en gros le mardi midi quand je finis mes cours je peux être concentré à 95% sur mon agrèg jusqu'au mercredi soir  à la fin des directs de Maths Adultes..

Donc comme demain c'est la vrai rentrée je m'arrête ici pour les révisions agrèg de ce soir. Je vais manger, et je finis par un article "maths mon IA" il faut juste que je retrouve mes idées de problèmes, j'en ai vu hier, mais comme un idiot j'ai oublié de les noter, donc je suis parti pour  fouillé dans mon histoire de plus de 100 pages 🙃😣

après mouts efforts j'ai fini par en retrouver certains:

• Problème du voyageur de commerce 

• Problème du sac à dos 

En fait je n'ai pas retrouvé la page que je cherchais mais je sais qu'il y avait au moins ces deux problèmes. C'était une page où ils parlaient des problèmes de NP-complétude. Bon tant pis, ça m'apprendra à procrastiner ... En vrai c'est parce que j'étais trop concentré sur mes exos de suites et que je me suis dit , "tant pis, de toute façon avec ma prépa agrèg je n'aurai plus le temps de mettre à jour les rubriques de mon site, le plaisir attendra un an" , or ce soir je suis dans une autre dynamique et je me rappelle que plus important que la destination c'est le voyage, donc à quoi sert de faire des maths si on passe à côté du plaisir de faire des maths, c'est pourquoi je m'en veux énormément d'avoir oublié cette règle fondamentale hier. On mettra ça sur le compte du stress de la préparation 😢😭

Bon je viens de trouver une nouvelle liste je la garde sous le coude et pour l'instant au moins on pourra étudier le problème du sac à dos et celui du voyageur de commerce.

1. Problème de l’affectation (Assignment Problem)

• Objectif : Trouver la meilleure façon d’affecter des tâches à des agents (ou des ressources à des projets) de manière à minimiser le coût total ou maximiser l’efficacité.

• Complexité : Résoluble en temps polynomial (algorithme hongrois).

• Application : Gestion des ressources humaines, logistique.

2. Problème de la couverture d’ensembles (Set Cover Problem)

• Objectif : Sélectionner le plus petit nombre de sous-ensembles dont l’union couvre un ensemble donné.

• Complexité : NP-difficile.

• Application : Optimisation de réseaux, sélection de capteurs.

3. Problème de la coloration de graphes (Graph Coloring Problem)

• Objectif : Colorier les sommets d’un graphe avec le moins de couleurs possibles, de sorte que deux sommets adjacents n’aient pas la même couleur.

• Complexité : NP-difficile.

• Application : Planification, allocation de fréquences radio.

4. Problème du plus court chemin (Shortest Path Problem)

• Objectif : Trouver le chemin le plus court entre deux sommets dans un graphe pondéré.

• Complexité : Résoluble en temps polynomial (algorithme de Dijkstra, Bellman-Ford).

• Application : GPS, routage réseau.

5. Problème du flot maximum (Maximum Flow Problem)

• Objectif : Trouver le débit maximum possible dans un réseau de flux, entre une source et un puits.

• Complexité : Résoluble en temps polynomial (algorithme de Ford-Fulkerson, Edmonds-Karp).

• Application : Transport, gestion des ressources.

6. Problème de la couverture de sommets (Vertex Cover Problem)

• Objectif : Trouver le plus petit ensemble de sommets tel que chaque arête du graphe est incidente à au moins un sommet de l’ensemble.

• Complexité : NP-difficile.

• Application : Sécurité réseau, optimisation de ressources.

7. Problème du bin packing (Bin Packing Problem)

• Objectif : Répartir des objets de tailles différentes dans le moins de conteneurs possible, sans dépasser leur capacité.

• Complexité : NP-difficile.

• Application : Logistique, gestion des stocks.

8. Problème de la partition (Partition Problem)

• Objectif : Diviser un ensemble de nombres en deux sous-ensembles de somme égale.

• Complexité : NP-difficile.

• Application : Équilibrage de charge, cryptographie.

9. Problème du chemin hamiltonien (Hamiltonian Path Problem)

• Objectif : Trouver un chemin qui visite chaque sommet d’un graphe exactement une fois.

• Complexité : NP-difficile.

• Application : Planification de circuits, bioinformatique.

10. Problème de la satisfiabilité booléenne (Boolean Satisfiability Problem, SAT)

• Objectif : Déterminer si une formule logique booléenne peut être satisfaite par une affectation de ses variables.

• Complexité : NP-complet.

• Application : Vérification de circuits, intelligence artificielle.

Maintenant il est temps d'aller faire mes Comme j'❤️ . Quand il faut y aller il faut y aller!

J'ai failli louper le 1er direct de Maths adultes🤯🤯🤯🤯🤯🤯🤯 !!  https://www.youtube.com/watch?v=IeSlWanTMAM

J'ai trop pris la confiance, j'ai essayé de faire mon Comme j'❤️ en même temps que je suivais la correction des préliminaires du sujet 1 des écrits de 2025🥴🫣😅... la preuve qu'il faut être concentré pour faire ses Comme j'❤️! 😅Ça me servira de leçon pour la prochaine fois.

techniquement les soirs je dois me coucher à minuit, mais comme j'ai fait une sieste de 4h, je me permet exceptionnellement de me coucher à 1h30. ça ne se reproduira pas. Donc pour aujourd'hui pas de réveil à 4h pour les révisions, le réveil ce sera à 6h, ce qui me laisse 1h pour faire mes Comme j'❤️ et revoir posément les traces d'hier sur la correction du sujet d'algèbre de 2025. Yoloooo

magma< monoïdes< anneau< corps< espace vectoriel< algèbre

C'est fou comment tous ces trucs qui me paraissaient nébuleux, deviennent de plus en plus clairs de jours en jour. En vrai ça devrait faire partie de la fonction continue des enseignants de proposer de revoir au moins une notion mathématiques en formation universitaire par an. Mais ça coûterait de l'argent à l’État , donc c'est pas demain la veille. Alors que je suis certain qu'il y a des pays qui le font.

Rien ne vaut un schéma pour mémoriser:

Le polynôme minimal est un invariant de similitude

X²-tr(A)X+det(A) est le polynôme annulateur

Je crois que pour la première fois de ma vie je comprends l'utilité du théorème de Cayley Hamilton, et surtout la différence entre polynôme annulateur et polynôme caractéristique! je vais laisser tout ça décanter et je verrai le lemme des noyaux demain. 

Mais je sais d'ores et déjà que le lemme des noyaux permet de démontrer les théorème de décomposition de Dunford et de réduction de Jordan. En gros il permet d'étudier les réductions d'endomorphismes via l'étude des valeurs propres (et vecteurs propres).

Sérieux quand tu comprends ça , d'un coup l'algèbre devient aussi jouissif que les maths de lycée.  Pour peu que tu aimes manipuler les matrices. Je veux dire par là qu'il faut avoir envie de comprendre le lien intrinsèque qui lie les matrices et les endomorphismes, comprendre l'intérêt des réductions d'endomorphisme. Et encore l'intérêt on peut s'en passer, on n'est pas des ingénieurs qui ne font des maths que pour leur aspect utilitaire. On peut aimer résoudre des inéquations, sans avoir besoin d'un exemple de problème pratique à résoudre. Mais pour un enseignant vu que ses ouailles seront pour certains des futurs ingénieurs il faut quand même être capable d'imaginer des problèmes concrets où ces mathématiques pourraient s'appliquer! Le fameux "à quoi ça sert" il se justifie clairement pour des ingénieurs, moins pour des collégiens. Car si on les habitue à ne chercher que l'utilité des maths on formera des générations d'ingénieurs au détriment de viviers de professeurs dont le futur aura besoin pour former la génération suivante d'ingénieurs.

Et pour le coup je comprends mieux pourquoi les ingénieurs sont de bons agrégés : car ils ont été confrontés à des problèmes concrets dans leur métier, donc ils ont plus de matière pratico-pratique à proposer aux élèves que le matheux dans son laboratoire qui fait des maths pour les maths. Et pourtant il faut des deux pour construire un monde de scientifiques.  Mais trop d'ingénieurs tue les maths fondamentales, et trop de chercheurs tuent les maths appliquées. C'est le devoir de l'agrégé de trouver le juste milieu entre le concret et l'abstrait, l'utile et le beau, l'ingénieur et le chercheur, le manuel et le penseur. 

Il ne faut jamais oublier que certains ont été dégoutés des maths par les problèmes de piquets et d'intervalles, de trains qui se croisent, et de baignoires qui se vident et se remplissent. Alors que pourtant au fond d'eux ils avaient les ressources pour apprécier des problèmes de topologie ou d'algèbre, voire qu'ils auraient pu trouver leur bonheur dans des courbes de Bézier ou des polynômes de Bernstein, ou des algorithmes de coloration de Welsh et powell, ou de djikstra; mais on les aura perdu en chemin à force de trop vouloir faire entrer le réel dans la pratique mathématique....

Penses-y toi qui agrège autant que ton cerveau peut emmagasiner.  Tu es le phare qui guide le futur mathématicien vers le royaume des chiffres et des lettres.

Pendant les exercices une question m'est venue à l'esprit: 

Comment déterminer le polynôme caractéristique d'une suite linéaire récurrente?

1. Écrire la relation de récurrence

2. Associer l'équation caractéristique

On cherche des solutions de la forme u_n = r^n, où r est une constante. En substituant dans la relation de récurrence En divisant par r^n (supposé non nul), on obtient l'équation caractéristique .

3. Définir le polynôme caractéristique

Le polynôme caractéristique P(r) associé à cette relation est : 

Et me revoilà donc sur les point de selle (pas sel de table) de cheval ou encore appelé point de col (pas de colle) de montagne

ça y est je suis venu à bout de la vidéo sur la décomposition de Dunford (Jordan-Chevalley) . En fait j'ai préféré faire une pause pour être sûr de bien comprendre la preuve de l'unicité, celle de l'existence ça allait puisqu'elle suivait la logique de la méthode de résolution.

pour l'unicité c'est velu  même quand on pense à utiliser le binome de newton, car il faut bien voir que les deux facteurs de chaque terme s'annulent, car lorsque i >s alors c'est le N qui s'annule, et si i<s c'est le N1 qui s'annule. Mais ça se comprend une fois qu'on a bien saisi que l'objectif est de montrer que la matrice est nilpotente et diagonalisable. Car la seule matrice qui soit à la fois nilpotente et diagonalisable c'est la matrice nulle. Ainsi on fini par arriver à D-D1=0 donc il n'existe qu'une seule décomposition de Dunford qui donne D diagonalisable et N nilpotente.

Et voila , le théorème de la limite monotone aussi c'est dans la boite. Il ne me reste donc plus qu'à voir la démonstration de Bolzano Weierstrass et je serai prêt pour le cours de Mardi aprèm.

22h52: Bon il me reste 1h pour y arriver.... ça va être tendax! 😬😦🤞

23h42: La démo de Bolzano Weierstrass est maîtrisée à 50%

 je sais que je dois créer des suites adjacentes, construire par récurrence des suites extraites, en gardant à chaque fois la moitié qui contient une infinité de termes de la suites (un) ainsi j'affecte à an+1 affecte, et à bn+1 (an+bn)/2 

ensuite par le calcul je montre que an< an+1 (la suite an est croissante)

je montre que bn+1<bn (la suite est décroissante) 

que an+1<bn+1

que bn+1-an+1=(bn-an)/2 = (b-a)/(2^n)

puis qu'il existe un phi(n+1)> phi(n) tel que u(phi(n+1) qui appartient à [an+1;bn+1]

ainsi la construction de la suite extraite est bien vérifiée à l'étape n+1 donc elle est vraie pour tout n.

Enfin par le théorème des gendarmes comme les suites an et bn sont adjacente elles convergent vers la même limite l , et comme note suite extraite u(phi(n)) est comprise entre an et bn on en déduit que (u(phi(n)) converge vers l .

ce qui montre que toute suite bornée admet une sous-suite convergente.

Un weekend bien rempli. C'était le plus facile, les prochains seront plus violents car il faudra compter 14h de plus dans les jambes.